Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera
Niech \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) będzie funkcją taką, że \( \hskip 0.3pc |f| \hskip 0.3pc \) jest całkowalna na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) (Czytelnik nieobeznany z funkcjami o wartościach zespolonych może przyjąć, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, czyli \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)).
nazywamy transformatą Fouriera funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) przyporządkujące funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jej transformatę nazywamy przekształceniem (transformacją) Fouriera.
prawie wszędzie. Odwzorowanie określone prawą stroną wzoru ( 2 ) oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc {\cal F}^{-1}\hskip 0.3pc \) i nazywamy przekztałceniem odwrotnym ( transformacją odwrotną ) Fouriera, a funkcję \( \hskip 0.3pc {\cal F}^{-1}(\hat f)\hskip 0.3pc \) nazywamy transformatą odwrotną.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \big|e^{ixy}\big|=\big|e^{-ixy}\big|=1,\hskip 0.3pc \) przekształcenia ( 1 ) i ( 2 ) są dobrze określone dla dowolnych całkowalnych funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \hat f.\hskip 0.3pc \)
Należy zaznaczyć, że używanie terminu transformacja odwrotna jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem nie każda tranformata funkcji z \( \hskip 0.3pc L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest funkcją całkowalną, nie dla każdej więc transformaty jest określone przekształcenie ( 2 ) . Formalnie, aby móc mówić o przekształceniu odwrotnym, należałoby przekztałcenie \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) zawęzić do podzbioru na którym jest odwracalne.
Korzystając ze wzoru Eulera
przekształcenie ( 1 ), w przypadku gdy \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, możemy zapisać w postaci równoważnej
oraz
gdzie \( \hskip 0.3pc x\cdot y= x_1y_1+\ldots +x_ny_n.\hskip 0.3pc \)
Wówczas transformata odwrotna ma postać
Istotnie
Przedstawimy teraz podstawowe własności transformaty Fouriera.
Załóżmy, że transformata Fouriera z rozważanych funkcji istnieje. Zgodnie z przyjętą powyżej konwencją niech \( \hskip 0.3pc \hat f\hskip 0.3pc \) oznacza transformatę Fouriera funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc \hat f={\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Podobnie, jak w przypadku przekształcenia Laplace'a, aby móc zapisac operacje na argumentach funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) będziemy używać zapisu \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f(x))\hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \)
Wymienimy teraz podstawowe własności przekształcenia Fouriera. Dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do przypadku \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) pozostawiając Czytelnikowi sformułowanie i dowód tych własności dla \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) (Formalnie rozważania są identyczne).
(i) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(ax)\big)(y) = \dfrac 1{|a|}\hat f(\tfrac ya);\hskip 0.3pc \)
(ii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(-x)\big)(y)= {\cal F}\big(f(x)\big)(-y)=\overline{{\cal F}\big(\overline {f(x)}\big)(y)},\hskip 0.2pc \)( \( \hskip 0.1pc \overline z\hskip 0.3pc \) oznacza liczbę sprzężoną do \( \hskip 0.3pc z;\hskip 0.1pc \))
(iii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(x-a)\big)(y) = e^{-iay}\hat f(y);\hskip 0.3pc \)
(iv) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( e^{bxi}f(x)\big)(y) = \hat f(y-b);\hskip 0.3pc \)
(v) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f^{(k)}(x)\big)(y) = (iy)^k\hat f(y);\hskip 0.3pc \)
(vi) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( (-ix)^kf(x)\big)(y) = \hat f^{(k)}(y);\hskip 0.3pc \)
(vii) \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( (f\star g)(x)\big)(y) = \sqrt{2\pi}\hat f(y)\,\hat g(y).\hskip 0.3pc \)
Ad. (i). Niech \( \hskip 0.3pc a>0\hskip 0.3pc \) (dla \( \hskip 0.3pc a<0\hskip 0.3pc \) argument jest analogiczny). Stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc z=ax\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Nietrudno sprawdzić, że jeśli \( \hskip 0.3pc x\in \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) to własność (i) przyjmuje postać:
(i'). \( \hskip 0.3pc {\cal F}\big( f(ax)\big)(y) = \dfrac 1{|a|^n}\hat f(\tfrac ya);\hskip 0.3pc \)
Ad. (ii). Pierwsza równość wynika natychmiast z własności (i). Dalej
Ad. (iii). Stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc z=x-a\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Ad. (iv). Wykorzystując wzór ( 1 ) mamy
Ad. (v). Sprawdźmy najpierw wzór (v) dla \( \hskip 0.3pc k=1.\hskip 0.3pc \)
Metodą indukcji matematycznej nietrudno sprawdzić, że własność (v) zachodzi dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k.\hskip 0.3pc \)
Ad. (vi). Różniczkując względem \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) równość ( 1 ) otrzymamy
co oznacza, że
Wykorzystując metodę indukcji matematycznej nietrudno sprawdzić, że własność (vi) zachodzi dla dowolnego \( \hskip 0.3pc k\in\mathbb N.\hskip 0.3pc \)
Ad. (vii). Korzystając z definicji 1 oraz definicji splotu funkcji mamy